বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র কি?

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল হল একটি দ্বি-মাত্রিক সমতলে বৃত্ত দ্বারা দখলকৃত অঞ্চল। এটি একটি সূত্র, A = πr2, (Pi r-বর্গ) ব্যবহার করে সহজেই নির্ধারণ করা যেতে পারে যেখানে r হল বৃত্তের ব্যাসার্ধ। ক্ষেত্রফলের একক =বর্গ একক, যেমন m2, cm2 ইত্যাদি।

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 বা πd2/4, বর্গ একক

যেখানে π = 22/7 বা 3.14

একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্র বা প্লট দ্বারা দখলকৃত স্থান পরিমাপের জন্য বৃত্ত ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করা হয়। ধরুন আপনার কাছে চারিদিকে বেড়া দেওয়ার একটা প্লট আছে, তাহলে বৃত্ত ক্ষেত্রফল নির্ধারণ সূত্রটি আপনাকে কতটুকু বেড়া দেওয়া প্রয়োজন তা নির্ধারণ করতে সাহায্য করবে।

অথবা ধরুন আপনাকে একটি টেবিল ক্লথ কিনতে হবে, তাহলে সেটিকে পুরোপুরি ঢেকে রাখার জন্য কাপড়ের কত অংশ প্রয়োজন।

এই ধরনের পরিস্থিতি বের করার জন্য ক্ষেত্রফলের পাশাপাশি পরিধির ধারণা গণিতে চালু করা হয়েছে। কিন্তু, একটি সাধারণ প্রশ্ন যা বেশিরভাগ মানুষের মধ্যে উত্থাপিত হয় তা হল “একটি বৃত্তের কি আয়তন আছে?” উত্তর হল “না”। যেহেতু বৃত্ত একটি দ্বি-মাত্রিক আকৃতি, এটির আয়তন নেই। এটি শুধুমাত্র একটি এলাকা এবং এর পরিধি আছ। সুতরাং, আমাদের কাছে একটি বৃত্তের আয়তন নেই। এই নিবন্ধে, আসুন উদাহরণ সহ একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল, পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং এর পরিধি সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করি।

বৃত্ত কি?

একটি বৃত্ত বন্ধ সমতল জ্যামিতিক আকৃতি. কারিগরি পরিভাষায়, একটি বৃত্ত হল একটি বিন্দুর একটি অবস্থান যা বিন্দু থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর চারপাশে ঘোরাফেরা করে। মূলত, একটি বৃত্ত হল একটি বদ্ধ বক্ররেখা যার বাইরের রেখা কেন্দ্র থেকে সমান। বিন্দু থেকে নির্দিষ্ট দূরত্ব হল বৃত্তের ব্যাসার্ধ। বাস্তব জীবনে, আপনি বৃত্তের অনেক উদাহরণ পাবেন যেমন একটি চাকা, পিজা, একটি বৃত্তাকার গ্রাউন্ড ইত্যাদি। এখন আসুন জেনে নেওয়া যাক, বৃত্তের ক্ষেত্রে কী কী পদ ব্যবহার করা হয়।

ব্যাসার্ধ

বৃত্তের ব্যাসার্ধ হল সেই রেখা যা বৃত্তের কেন্দ্রের সাথে বাইরের সীমানায় মিলিত হয়। এটি সাধারণত ‘r’ বা ‘R’ দ্বারা উপস্থাপিত হয়। একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল এবং পরিধির সূত্রে, ব্যাসার্ধ একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে যা আপনি পরে শিখবেন।

ব্যাস

বৃত্তের ব্যাস হল সেই রেখা যা বৃত্তটিকে দুটি সমান অংশে বিভক্ত করে। একটি সহজ উপায়ে আমরা বলতে পারি, এটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ এবং ‘d’ বা ‘D’ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। অতএব,

d = 2r বা D = 2R

বৃত্তের ব্যাস আমাদের জানা থাকলে, আমরা বৃত্তের ব্যাসার্ধ গণনা করতে পারি, যেমন;

r = d/2 বা R = D/2

বৃত্তের পরিধি

আবদ্ধ জায়গাগুলির পরিধি-কে এর সীমানার দৈর্ঘ্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। যখন circles এর ব্যাপার আসে, একটি ভিন্ন নামে এর ঘের বা ( perimeter ) কে নাম দেয়া হয়, যাকে বৃত্তের “পরিধি” বলা হয়। এই পরিধি হল বৃত্তের সীমানার দৈর্ঘ্য। যদি আমরা একটি সরল রেখা তৈরি করার জন্য বৃত্তটি খুলি, তাহলে সরলরেখার দৈর্ঘ্য হবে পরিধি। বৃত্তের পরিধি নির্ধারণ করার জন্য, ‘pi’ নামে পরিচিত একটি শব্দের জ্ঞান প্রয়োজন। ডুমুরে দেখানো বৃত্তটি বিবেচনা করুন। 1, কেন্দ্র O এবং ব্যাসার্ধ r সহ।

বৃত্তের পরিধি তার সীমানার দৈর্ঘ্যের সমান। দড়ির দৈর্ঘ্য যা তার সীমানার চারপাশে পুরোপুরি মোড়ানো হবে তার পরিধির সমান হবে, যা সূত্র ব্যবহার করে পরিমাপ করা যেতে পারে:

পরিধি / পরিধি = 2πr একক

যেখানে r হল বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

π, ‘pi’ হিসাবে পড়ুন একটি বৃত্তের পরিধি এবং তার ব্যাসের অনুপাত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই অনুপাত প্রতিটি বৃত্তের জন্য একই। ব্যাসার্ধ ‘r’ এবং পরিধি ‘C’ সহ একটি বৃত্ত বিবেচনা করুন। এই বৃত্তের জন্য

π = পরিধি/ব্যাস
π = C/2r
C = 2πr
একই চিত্রে দেখানো হয়েছে। 2.

বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল হল তার সীমানা দ্বারা আচ্ছাদিত বা ঘেরা অঞ্চল এবং সূত্র A = πr2 ব্যবহার করে গণনা করা হয়। এটি বর্গ এককে পরিমাপ করা হয়। নীচের চিত্রটি ব্যাসার্ধ “r” সহ একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলকে চিত্রিত করে।

যে কোনো জ্যামিতিক আকৃতির নিজস্ব এলাকা আছে। এই এলাকাটি এমন একটি অঞ্চল যা একটি দ্বি-মাত্রিক সমতলে আকৃতি দখল করে। এখন আমরা বৃত্তের ক্ষেত্রফল সম্পর্কে জানব। সুতরাং একটি দ্বি-মাত্রিক সমতলে বৃত্তের ব্যাসার্ধের একটি সম্পূর্ণ চক্র দ্বারা আচ্ছাদিত এলাকা হল সেই বৃত্তের ক্ষেত্রফল। এখন আমরা কিভাবে কোন বৃত্তাকার বস্তু বা স্থানের জন্য ক্ষেত্রফল গণনা করতে পারি? এই ক্ষেত্রে, আমরা বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র ব্যবহার করি। এখন সূত্র নিয়ে আলোচনা করা যাক।

একটি বৃত্ত সূত্রের ক্ষেত্রফল

r ব্যাসার্ধ সহ একটি বৃত্ত নিই।

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল

উপরের চিত্রে, আমরা একটি বৃত্ত দেখতে পাচ্ছি, যেখানে কেন্দ্র ‘o’ থেকে বৃত্তের সীমানা পর্যন্ত ব্যাসার্ধ r। তারপর এই বৃত্তের ক্ষেত্রফল, A, ব্যাসার্ধের পাই এবং বর্গক্ষেত্রের গুণফলের সমান। এটি দ্বারা দেওয়া হয়;

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল, A = πr2 বর্গ একক
এখানে, pi, π = 22/7 বা 3.14 এবং r এর মান হল ব্যাসার্ধ।

বৃত্তের ক্ষেত্রফলের উৎস
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল দুটি পদ্ধতি ব্যবহার করে কল্পনা এবং প্রমাণ করা যেতে পারে, যথা

আয়তক্ষেত্র ব্যবহার করে বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা
ত্রিভুজ ব্যবহার করে বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা
আসুন আমরা উভয় পদ্ধতি একে একে বুঝি।

আয়তক্ষেত্রের এলাকা ব্যবহার করা
বৃত্তটি 16টি সমান সেক্টরে বিভক্ত, এবং সেক্টরগুলিকে চিত্রের মতো সাজানো হয়েছে। 3. বৃত্তের ক্ষেত্রফল বৃত্ত থেকে কাটা ক্ষেত্রগুলি দ্বারা গঠিত সমান্তরালগ্রাম-আকৃতির চিত্রের সমান হবে। যেহেতু সেক্টরগুলির সমান ক্ষেত্রফল রয়েছে, তাই প্রতিটি সেক্টরের সমান চাপের দৈর্ঘ্য থাকবে। আর

একটি আয়তক্ষেত্র (A) এর ক্ষেত্রফলও একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে। তাহলে আমাদের আছে

A = π×r×r
A = πr2

ত্রিভুজ এলাকা ব্যবহার করা
সমকেন্দ্রিক বৃত্ত দিয়ে r ব্যাসার্ধ দিয়ে বৃত্তটি পূরণ করুন। ডুমুরে নির্দেশিত লাইন বরাবর বৃত্ত কাটার পর। 4 এবং রেখাগুলি ছড়িয়ে দিলে ফলাফলটি একটি ত্রিভুজ হবে। ত্রিভুজের ভিত্তি হবে বৃত্তের পরিধির সমান, এবং এর উচ্চতা হবে বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান।

ত্রিভুজ ব্যবহার করে একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল

সুতরাং, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল (A) বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমান হবে। আমাদের আছে

A = 1/2×বেস × উচ্চতা

A = 1/2×(2πr)×r

A = πr2

বৃত্তের সারফেস এরিয়া

একটি বৃত্ত একটি গোলকের 2-D উপস্থাপনা ছাড়া আর কিছুই নয়। বৃত্তের সীমানার ভিতরে যে মোট ক্ষেত্রফল নেওয়া হয় তা হল বৃত্তের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল। যখন আমরা বলি যে আমরা বৃত্তের ক্ষেত্রফল চাই, তখন আমরা বৃত্তের ক্ষেত্রফলকেই বুঝি। কখনও কখনও, একটি বৃত্তের আয়তন একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলকেও সংজ্ঞায়িত করে।

যখন ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য বা ব্যাস এমনকি বৃত্তের পরিধিও দেওয়া থাকে, তখন আমরা পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল বের করতে পৃষ্ঠ সূত্র ব্যবহার করতে পারি। পৃষ্ঠটি বর্গক্ষেত্রে উপস্থাপিত হয়।

বৃত্তের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = A = π x r2

কিভাবে একটি বৃত্তের এলাকা খুঁজে বের করতে হয়?
আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের পাই গুণ বর্গক্ষেত্রের সমান, অর্থাৎ π x r2। বৃত্তের ক্ষেত্রফল বের করতে আমাদের বৃত্তের ব্যাসার্ধ বা ব্যাস জানতে হবে।
উদাহরণস্বরূপ, যদি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সেমি হয়, তাহলে এর ক্ষেত্রফল হবে:
7 সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 = π(7)2 = 22/7 x 7 x 7 = 22 x 7 = 154 sq.cm।

এছাড়াও, যদি আমরা বৃত্তের পরিধি জানি, তাহলে আমরা বৃত্তের ক্ষেত্রফল বের করতে পারি।
কিভাবে?
যেহেতু, পরিধি পাই এর গুণফলের 2 গুণ এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ, যেমন:
C = 2πr
অতএব, এখানে আমরা ব্যাসার্ধের মান খুঁজে পেতে পারি,
r = C/2π
একবার, আমরা ব্যাসার্ধের মান মূল্যায়ন করেছি, আমরা সহজেই এলাকাটি খুঁজে পেতে পারি।

বর্গক্ষেত্র এবং সার্কেল এরিয়ার মধ্যে পার্থক্য
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল বর্গক্ষেত্রের 80% বলে অনুমান করা হয়, যখন বৃত্তের ব্যাস এবং বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য একই হয়।

শিক্ষার্থীরা একটি বৃত্তাকার বস্তুকে একটি বর্গাকার আকারে সন্নিবেশিত করে একটি কার্যকলাপ করতে পারে যার ব্যাস এবং পার্শ্ব-দৈর্ঘ্য যথাক্রমে।

যদি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 100 বর্গ ইউনিট হয়, তাহলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে এর প্রায় 80 বর্গ ইউনিট।

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমাধান করা উদাহরণ
আমরা এখন পর্যন্ত বৃত্তের বিভিন্ন প্যারামিটার যেমন ক্ষেত্রফল, পরিধি বা পরিধি, ব্যাসার্ধ এবং ব্যাস নিয়ে আলোচনা করেছি। ক্ষেত্রফল এবং পরিধির ধারণাটি আরও ভালভাবে বোঝার জন্য আসুন এই সূত্রগুলির উপর ভিত্তি করে কিছু সমস্যার সমাধান করি।

উদাহরণ 1:

যে বৃত্তের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 314.159 বর্গ সেমি, তার ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:

বৃত্তের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের সূত্র ধরে আমরা জানি;

A = π x r2

এখন, মান প্রতিস্থাপন করা হচ্ছে:

314.159 = π x r2

314.159 = 3.14 x r2

r2 = 314.159/3.14

r2 = 100.05

r = √100.05

r = 10 সেমি

উদাহরণ 2:

ব্যাসার্ধ 7 সেমি হলে বৃত্তের পরিধি এবং ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান:

প্রদত্ত: ব্যাসার্ধ, r = 7 সেমি

আমরা জানি যে বৃত্তের পরিধি/পরিধি হল 2πr সেমি।

এখন, ব্যাসার্ধ মান প্রতিস্থাপন, আমরা পেতে

C = 2 × (22/7)× 7

C = 2×22

C = 44 সেমি

এইভাবে, বৃত্তের পরিধি 44 সেমি।

এখন, বৃত্তের ক্ষেত্রফল হল πr2 cm2

A = (22/7) × 7 × 7

A = 22 × 7

A = 154 cm2

উদাহরণ 3:

যদি একটি বৃত্তের দীর্ঘতম জ্যা 12 সেমি হয়, তাহলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান:

প্রদত্ত যে একটি বৃত্তের দীর্ঘতম জ্যা হল 12 সেমি।

আমরা জানি যে একটি বৃত্তের দীর্ঘতম জ্যা হল ব্যাস।

সুতরাং, d = 12 সেমি।

সুতরাং, r = d/2 = 12/2 = 6 সেমি।

বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি দেওয়া হয়েছে,

A = πr2 বর্গ একক।

এখন, সূত্রে r = 6 সেমি প্রতিস্থাপন করুন, আমরা পাই

A = (22/7)×6×6 cm2

A = (22/7)×36 cm2

A = 792/7 cm2

A = 113.14 cm2 (2 দশমিক স্থানে রাউন্ড করা হয়েছে)

তাই বৃত্তের ক্ষেত্রফল হল 113.14 cm2।

বৃত্তের ক্ষেত্রফল সম্পর্কে প্রায়শই জিজ্ঞাসিত প্রশ্নাবলী
প্রশ্ন ১
বৃত্তের ক্ষেত্রফল বলতে কী বোঝায়?
বৃত্তের ক্ষেত্র হল দ্বি-মাত্রিক স্থানের বৃত্ত দ্বারা দখলকৃত অঞ্চল।
প্রশ্ন ২
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল কিভাবে গণনা করা যায়?
সূত্র ব্যবহার করে বৃত্তের ক্ষেত্রফল গণনা করা যেতে পারে:
ক্ষেত্রফল = π x r2, ব্যাসার্ধ ‘r’ এর পরিপ্রেক্ষিতে।
ক্ষেত্রফল = (π/4) x d2, ব্যাসের পরিপ্রেক্ষিতে, ‘d’।
ক্ষেত্রফল = C2/4π, পরিধির পরিপ্রেক্ষিতে, ‘C’।
Q3
বৃত্তের পরিধি কত?
বৃত্তের পরিধি পরিধি ছাড়া আর কিছুই নয়, যা পাই (π) এর গুণফলের দ্বিগুণ এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান, অর্থাৎ 2πr।
Q4
π এর পরিপ্রেক্ষিতে 3 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
দেওয়া হয়েছে, r = 3 সেমি.
আমরা জানি যে বৃত্তের ক্ষেত্রফল হল πr2 বর্গ একক
তাই, A = π x 32 = 9π cm2।
প্রশ্ন5
π এর পরিপ্রেক্ষিতে বৃত্তের পরিধি খুঁজুন, যার ব্যাসার্ধ 14 সেমি।
আমরা জানি যে একটি বৃত্তের পরিধি হল 2πr একক।
তাই, C = 2π(14) = 28π সেমি।
প্রশ্ন ৬
বৃত্তের ব্যাসার্ধ খুঁজুন, যদি এর ক্ষেত্রফল 340 বর্গ সেন্টিমিটার হয়।
আমরা জানি, একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 বর্গ একক
তাই, 340 = 3.14 r2
তাই, r2 = 340/3.14
r2 = 108.28
তাই, r = 10.4 সেমি.
সুতরাং, একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 10.4 সেমি

প্রশ্ন ৭
পাই এর পরিপ্রেক্ষিতে বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন, যদি ব্যাসার্ধ = 6 সেমি।
আমরা জানি, ক্ষেত্রফল = πr2
A = π(6)2
A = 36π
সুতরাং, একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 36π, যদি ব্যাসার্ধ 6 সেমি হয়।

প্রশ্ন ৮
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন, যদি এর পরিধি 128 ইঞ্চি হয়।
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 1303.8 বর্গ ইঞ্চি যদি এর পরিধি 128 ইঞ্চি হয়।